En aritmética, solemos definir a la división como una operación que nos permite encontrar cuántas veces un número "cabe" dentro de otro, es decir, cuál es el valor que resulta de dividir un número en una cantidad determinada de partes iguales. En álgebra, el concepto es similar pero de una forma más general.

La división es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). Así, el cociente multiplicado por el divisor es igual al dividendo. 

La división algebraica se puede expresar con el mismo símbolo de “dividir” que utilizamos en aritmética y obedeciendo el mismo orden, es decir, primero colocamos el dividendo, el signo de “dividir” y por último el divisor, como se muestra a continuación:

Aunque esta notación es correcta, en álgebra es muy común escribir la división en forma de una fracción, colocando el dividendo en la posición del numerador y el divisor en la del denominador, como se muestra a continuación:

De esta forma, la operación de dividir 10x² entre 2x consiste en encontrar una expresión (cociente) que al multiplicarse por el divisor (2x) nos de como resultado el dividendo (10x²). La expresión que cumple con esta condición es 5x ya que:

Por lo tanto, el resultado (o cociente) de esta división es 5x.

Pero, ¿qué sucede para casos en las que se dividen expresiones algebraicas más complejas? Por supuesto que existe un método para realizar divisiones algebraicas que aprenderemos a continuación. Primero, conoceremos algunas leyes.

Ley de los Signos de la División

La ley de los signos para la división es muy similar a la de la multiplicación. Observa la siguiente tabla:

Similar a la multiplicación, cuando el dividendo y el divisor tienen signos iguales, el cociente es positivo. Cuando el dividendo y el divisor tienen signos contrarios, el cociente es negativo.

Ley de los Exponentes

Para dividir potencias con la misma base, se deja esa misma base en el cociente y se le coloca el exponente que resulte de restar el exponente del dividendo menos el exponente del divisor (siempre en ese orden), tal como el siguiente ejemplo:

Ley de los Coeficientes

El coeficiente del cociente es el resultado de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. Por ejemplo:

El coeficiente “2” del cociente surge de la división de 12 entre 6, es decir, los coeficientes del dividendo y divisor respectivamente, siempre en ese orden.

División de Monomios

Para dividir monomios podemos seguir el siguiente procedimiento:

• Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor (ley de los coeficientes).
• A un lado del coeficiente del cociente (resultado del paso anterior) se colocan las variables (las letras) en orden alfabético. 
• A cada variable se le coloca el exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene esa misma variable en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor (ley de los exponentes).
• Para determinar el signo del cociente se sigue la ley de los signos de la división (ley de los signos).